Συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Ομογενή συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

Πίσω στο σχολείο, ο καθένας από εμάς μελέτησε τις εξισώσεις και,σίγουρα, το σύστημα των εξισώσεων. Αλλά πολλοί άνθρωποι δεν γνωρίζουν ότι υπάρχουν διάφοροι τρόποι επίλυσης τους. Σήμερα θα συζητήσουμε λεπτομερώς όλες τις μεθόδους επίλυσης ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων που αποτελούνται από περισσότερες από δύο ισοτιμίες.

Ιστορία

Μέχρι σήμερα, είναι γνωστό ότι η τέχνηλύσεις εξισώσεων και τα συστήματά τους προέρχονται από την αρχαία Βαβυλώνα και την Αίγυπτο. Ωστόσο, η ισότητα στη συνήθη μορφή τους για μας εμφανίστηκε μετά την εμφάνιση του σημείου ισότητας "=", το οποίο εισήχθη το 1556 από τον Αγγλικό μαθηματικό ρεκόρ. Παρεμπιπτόντως, το σημείο αυτό επιλέχθηκε για έναν λόγο: σημαίνει δύο παράλληλα ίσα τμήματα. Πράγματι, το καλύτερο παράδειγμα ισότητας δεν μπορεί να φανταστεί.

Ο ιδρυτής της σύγχρονης αλφαβητικήςΗ βαθμολόγηση των άγνωστων και τα σημάδια των βαθμών είναι ο γαλλικός μαθηματικός François Viet. Ωστόσο, οι ονομασίες του ήταν σημαντικά διαφορετικές από σήμερα. Για παράδειγμα, το τετράγωνο ενός άγνωστου αριθμού δηλώθηκε με το γράμμα Q (Λατινικά "quadratus") και ο κύβος με το γράμμα C (λατινικά "cubus"). Αυτές οι ονομασίες φαίνεται τώρα άβολα, αλλά τότε ήταν ο πιο κατανοητός τρόπος για να γράψουμε συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων.

Ωστόσο, το μειονέκτημα των τότε μεθόδων λύσηςήταν ότι οι μαθηματικοί θεώρησαν μόνο θετικές ρίζες. Ίσως αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι αρνητικές τιμές δεν είχαν πρακτική εφαρμογή. Τέλος πάντων, οι Ιταλοί μαθηματικοί Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano και Rafael Bombelli τον 16ο αιώνα ήταν οι πρώτοι που θεώρησαν τις αρνητικές ρίζες. Μια σύγχρονη μορφή, η κύρια μέθοδος για την επίλυση των τετραγωνικών εξισώσεων (μέσω διακρίσεων) δημιουργήθηκε μόνο τον 17ο αιώνα χάρη στα έργα του Descartes και του Newton.

Στα μέσα του 18ου αιώνα ο Ελβετός μαθηματικός ΓαβριήλΟ Kramer βρήκε έναν νέο τρόπο να διευκολύνει καλύτερα τα συστήματα λύσεων γραμμικών εξισώσεων. Αυτή η μέθοδος ονομάστηκε στη συνέχεια μετά από αυτόν και μέχρι σήμερα το χρησιμοποιούμε. Αλλά θα μιλήσουμε για τη μέθοδο Cramer λίγο αργότερα, αλλά προς το παρόν, θα συζητήσουμε τις γραμμικές εξισώσεις και τις μεθόδους για την επίλυσή τους ξεχωριστά από το σύστημα.

Γραμμικές εξισώσεις

Οι γραμμικές εξισώσεις είναι οι απλούστερες εξισώσεις με μεταβλητή (ες). Είναι ταξινομημένα ως αλγεβρικά. Οι γραμμικές εξισώσεις γράφονται στη γενική μορφή ως εξής: α₁* x₁+ α_{2 *}x₂+ ... α_n* x_n= β. Η αντιπροσώπευσή τους σε αυτή τη μορφή είναι απαραίτητη για την περαιτέρω σύνθεση των συστημάτων και των πινάκων.

Συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

Ο ορισμός αυτού του όρου είναι: Πρόκειται για ένα σύνολο εξισώσεων που έχουν κοινές άγνωστες ποσότητες και μια κοινή λύση. Τυπικά, στο σχολείο όλα λυθεί ένα σύστημα με δύο ή ακόμη και τρεις εξισώσεις. Υπάρχουν όμως συστήματα με τέσσερα ή περισσότερα στοιχεία. Ας δούμε πρώτα πώς να τα γράψω, έτσι ώστε αργότερα ήταν βολικό να λύσει. Πρώτον, το σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων θα φανεί καλύτερα αν όλες οι μεταβλητές γράφεται ως x με τον αντίστοιχο δείκτη: 1,2,3 και ούτω καθεξής. Δεύτερον, θα πρέπει να οδηγήσει όλες τις εξισώσεις στην κανονική μορφή: α₁* x₁+ α_{2 *}x₂+ ... α_n* x_n= β.

Μετά από όλες αυτές τις ενέργειες, μπορούμε να αρχίσουμε να πούμε πώς να βρούμε μια λύση στα συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Πολύ γι 'αυτό χρειαζόμαστε μήτρες.

Πίνακες

Ένας πίνακας είναι ένας πίνακας που αποτελείται από χορδές καιστήλες, και στη διασταύρωσή τους είναι τα στοιχεία του. Αυτό μπορεί να είναι είτε συγκεκριμένες τιμές είτε μεταβλητές. Τις περισσότερες φορές, για να υποδηλώσουν τα στοιχεία, τοποθετούνται κάτω από τους δείκτες (για παράδειγμα, a₁₁ ή α₂₃). Ο πρώτος δείκτης είναι ο αριθμός σειράς και ο δεύτερος είναι η στήλη. Πάνω από τους πίνακες, καθώς και πάνω από οποιοδήποτε άλλο μαθηματικό στοιχείο, είναι δυνατό να εκτελεστούν διάφορες λειτουργίες. Έτσι, μπορείτε:

1) Αφαιρέστε και προσθέστε τους πίνακες ίδιου μεγέθους.

2) Πολλαπλασιάστε τη μήτρα με αριθμό ή φορέα.

3) Μεταφορά: μετατρέψτε τις σειρές της μήτρας σε στήλες και τις στήλες - στις γραμμές.

4) Πολλαπλασιάστε τους πίνακες αν ο αριθμός των σειρών ενός από αυτούς είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών του άλλου.

Θα συζητήσουμε όλες αυτές τις τεχνικές λεπτομερέστερα, καθώς αυτέςθα είναι χρήσιμες για εμάς στο μέλλον. Η αφαίρεση και η προσθήκη των πινάκων είναι πολύ απλή. Δεδομένου ότι παίρνουμε πίνακες ίδιου μεγέθους, κάθε στοιχείο ενός πίνακα συσχετίζεται με κάθε στοιχείο του άλλου. Έτσι προσθέτουμε (αφαιρέστε) αυτά τα δύο στοιχεία (είναι σημαντικό να στέκονται στα ίδια σημεία στις μήτρες τους). Όταν πολλαπλασιάζετε μια μήτρα με έναν αριθμό ή ένα διάνυσμα, απλά πολλαπλασιάζετε κάθε στοιχείο του πίνακα με αυτόν τον αριθμό (ή τον φορέα). Η μεταφορά είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα διαδικασία. Είναι πολύ ενδιαφέρον μερικές φορές να το βλέπετε στην πραγματική ζωή, για παράδειγμα, όταν αλλάζετε τον προσανατολισμό ενός tablet ή τηλεφώνου. Τα εικονίδια στην επιφάνεια εργασίας είναι ένας πίνακας και όταν η θέση αλλάζει, μεταφέρεται και γίνεται ευρύτερη, αλλά μειώνεται σε ύψος.

Θα αναλύσουμε τη διαδικασία πολλαπλασιασμού των πινάκων. Παρόλο που δεν είναι χρήσιμο, θα είναι χρήσιμο να το γνωρίζετε. Πολλαπλασιάστε δύο μήτρες μόνο αν ο αριθμός των στηλών ενός πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών του άλλου. Τώρα παίρνουμε τα στοιχεία της σειράς μιας μήτρας και τα στοιχεία της αντίστοιχης στήλης του άλλου. Τα πολλαπλασιάζουμε μεταξύ τους και στη συνέχεια τα προσθέτουμε (δηλαδή, το προϊόν των στοιχείων α₁₁ και α₁₂ στο b₁₂ και β₂₂ θα είναι: α₁₁* β₁₂ + α₁₂* β₂₂). Έτσι, έχουμε ένα στοιχείο του τραπεζιού και είναι γεμάτο με τον ίδιο τρόπο.

Τώρα μπορούμε να αρχίσουμε να εξετάζουμε πώς λύνεται το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων.

Η μέθοδος Gauss

Αυτό το θέμα αρχίζει να γίνεται στο σχολείο. Γνωρίζουμε καλά την έννοια του "συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων" και μπορούμε να τα λύσουμε. Αλλά τι γίνεται αν ο αριθμός των εξισώσεων είναι μεγαλύτερος από δύο; Η μέθοδος Gauss θα μας βοηθήσει σε αυτό.

Φυσικά, είναι χρήσιμο να χρησιμοποιήσουμε αυτή τη μέθοδο εάν δημιουργούμε ένα πλέγμα από το σύστημα. Αλλά δεν μπορείτε να το μεταμορφώσετε και να το λύσετε στην καθαρή του μορφή.

Έτσι, πώς μπορεί αυτό το σύστημα να λυθεί με ένα σύστημα γραμμικώνGaussian εξισώσεις; Με την ευκαιρία, παρόλο που αυτή η μέθοδος ονομάζεται μετά από αυτόν, αλλά ανακαλύφθηκε στην αρχαιότητα. Ο Gauss προτείνει τα εξής: να πραγματοποιήσει πράξεις με εξισώσεις, προκειμένου να οδηγήσει τελικά ολόκληρο το αδρανές σε μια βηματική μορφή. Δηλαδή, είναι απαραίτητο από κάτω προς τα πάνω (αν είναι σωστά διατεταγμένο) από την πρώτη εξίσωση μέχρι την τελευταία να μειωθεί κατά ένα άγνωστο. Με άλλα λόγια, πρέπει να το καταφέρουμε έτσι ώστε να πάρουμε, για παράδειγμα, τρεις εξισώσεις: στα πρώτα τρία άγνωστα, στο δεύτερο - στο δεύτερο, στο τρίτο - ένα. Στη συνέχεια από την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε το πρώτο άγνωστο, αντικαταστήστε την αξία του στη δεύτερη ή την πρώτη εξίσωση και στη συνέχεια βρείτε τις υπόλοιπες δύο μεταβλητές.

Τη μέθοδο Cramer

Για να καταλάβετε αυτή τη μέθοδο, είναι ζωτικής σημασίαςΔιαθέτει τις δεξιότητες προσθήκης, αφαίρεσης των πινάκων και επίσης είναι απαραίτητο να είναι σε θέση να βρει καθοριστικούς παράγοντες. Επομένως, αν το κάνετε άσχημα ή δεν ξέρετε πώς, θα πρέπει να μάθετε και να εξασκηθείτε.

Ποια είναι η ουσία αυτής της μεθόδου, και πώς να το κάνουμε έτσιΤο σύστημα γραμμικών εξισώσεων του Cramer ελήφθη; Είναι πολύ απλό. Πρέπει να κατασκευάσουμε μια μήτρα αριθμητικών (σχεδόν πάντα) συντελεστών ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Για να γίνει αυτό, πάρτε ακριβώς τους αριθμούς μπροστά από τα άγνωστα και τοποθετήστε τα στο τραπέζι με τη σειρά που γράφονται στο σύστημα. Εάν υπάρχει ένα σημάδι "-" μπροστά από τον αριθμό, τότε γράψτε έναν αρνητικό συντελεστή. Έτσι, καταρτίσαμε την πρώτη μήτρα των συντελεστών για άγνωστα, χωρίς να συμπεριλαμβάνονται οι αριθμοί μετά τα ίσα σημάδια (είναι φυσικό η εξίσωση να μειωθεί στην κανονική μορφή, όταν η δεξιά πλευρά περιέχει μόνο τον αριθμό, και στα αριστερά όλα τα άγνωστα με συντελεστές). Στη συνέχεια, πρέπει να δημιουργήσουμε αρκετές άλλες μήτρες, μία για κάθε μεταβλητή. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε κάθε στήλη στην πρώτη μήτρα με τη στήλη αριθμού στήλης μετά το σημείο ισότητας. Έτσι αποκτάμε αρκετές μήτρες και στη συνέχεια βρίσκουμε τους καθοριστικούς τους παράγοντες.

Αφού βρήκαμε τους καθοριστικούς παράγοντες, την υπόθεση γιαμικρό. Έχουμε έναν αρχικό πίνακα και υπάρχουν αρκετές παράγωγες μήτρες που αντιστοιχούν σε διαφορετικές μεταβλητές. Για να πάρουμε τα λύματα του συστήματος, διαιρούμε τον καθοριστικό παράγοντα του πίνακα που προκύπτει στον καθοριστικό παράγοντα του αρχικού πίνακα. Ο αριθμός που προκύπτει είναι η τιμή μιας από τις μεταβλητές. Ομοίως, βρίσκουμε όλα τα άγνωστα.

Άλλες μέθοδοι

Υπάρχουν αρκετές άλλες μέθοδοι γιαγια τη λήψη λύσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Για παράδειγμα, η λεγόμενη μέθοδος Gauss-Jordan, η οποία χρησιμοποιείται για την εξεύρεση λύσεων σε ένα σύστημα τετραγωνικών εξισώσεων, σχετίζεται επίσης με τη χρήση πινάκων. Υπάρχει επίσης η μέθοδος Jacobi για την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Είναι το πιο προσαρμόσιμο για έναν υπολογιστή και χρησιμοποιείται στην τεχνολογία υπολογιστών.

Σύνθετες περιπτώσεις

Η πολυπλοκότητα συνήθως προκύπτει αν ο αριθμός των εξισώσεωνλιγότερο από τον αριθμό των μεταβλητών. Μπορούμε λοιπόν να πούμε με βεβαιότητα ότι είτε το σύστημα είναι ασυμβίβαστο (δηλαδή, δεν έχει ρίζες) είτε ο αριθμός των λύσεών του τείνει στο άπειρο. Αν έχουμε τη δεύτερη περίπτωση, τότε πρέπει να γράψουμε τη γενική λύση του συστήματος των γραμμικών εξισώσεων. Θα περιέχει τουλάχιστον μία μεταβλητή.

Συμπέρασμα

Έτσι φτάσαμε στο τέλος. Ας συνοψίσουμε: αναλύσαμε τι είναι ένα σύστημα και μια μήτρα και μάθαμε πώς να βρούμε τη γενική λύση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Επιπλέον, εξετάσαμε άλλες επιλογές. Ανακάλυψαν πώς λύνεται το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων: η μέθοδος Gauss και η μέθοδος Cramer. Μιλήσαμε για περίπλοκες περιπτώσεις και άλλους τρόπους επίλυσης.

Στην πραγματικότητα, αυτό το θέμα είναι πολύ πιο εκτεταμένο, και αν θέλετε να το καταλάβετε καλύτερα, σας συνιστούμε να διαβάσετε πιο εξειδικευμένη βιβλιογραφία.