Εξίσωση - τι είναι; Ορισμός του όρου, παραδείγματα

Κατά τη διάρκεια των σχολικών μαθηματικών, το παιδί πρώτα ακούει τον όρο "εξίσωση". Τι είναι αυτό, ας προσπαθήσουμε να το καταλάβουμε μαζί. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τους τύπους και τις μεθόδους επίλυσης.

Μαθηματικά. Εξισώσεις

Αρχικά, σας προτείνουμε να ασχοληθείτε με τον εαυτό σαςέννοια, τι είναι; Όπως λένε πολλά βιβλία μαθηματικών, η εξίσωση είναι μερικές εκφράσεις μεταξύ των οποίων υπάρχει αναγκαστικά ένα ισότιμο σημάδι. Σε αυτές τις εκφράσεις υπάρχουν γράμματα, οι αποκαλούμενες μεταβλητές, οι οποίες πρέπει να βρεθούν.

Τι είναι μια μεταβλητή; Είναι χαρακτηριστικό ενός συστήματος που αλλάζει το νόημά του. Ένα σαφές παράδειγμα μεταβλητών είναι:

• θερμοκρασία αέρα.
• ανάπτυξη του παιδιού.
• βάρος και ούτω καθεξής.

Στα μαθηματικά σημειώνονται με γράμματα, για παράδειγμα,x, a, b, c ... Συνήθως η εργασία μαθηματικών ακούγεται έτσι: βρείτε την αξία της εξίσωσης. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρείτε την αξία αυτών των μεταβλητών.

Ποικιλίες

Η εξίσωση (που είναι αυτό που αποσυναρμολογήσαμε στην προηγούμενη παράγραφο) μπορεί να έχει την ακόλουθη μορφή:

• γραμμική.
• τετράγωνο.
• κυβικά.
• αλγεβρικό.
• υπερβατικό.

Για μια πιο λεπτομερή γνωριμία με όλα τα είδη, θα εξετάσουμε το καθένα ξεχωριστά.

Η γραμμική εξίσωση

Αυτό είναι το πρώτο είδος που γνωρίζουν οι μαθητές. Λύνονται αρκετά γρήγορα και απλά. Έτσι, η γραμμική εξίσωση, τι είναι; Αυτή είναι μια έκφραση της φόρμας: ax = c. Επομένως δεν είναι ιδιαίτερα σαφές, επομένως θα δώσουμε μερικά παραδείγματα: 2χ = 26; 5x = 40; 1,2x = 6.

Ας εξετάσουμε παραδείγματα εξισώσεων. Για να γίνει αυτό θα πρέπει να συγκεντρώσει όλα τα γνωστά δεδομένα από τη μία πλευρά, και, άγνωστο προς το άλλο: x = 26/2? χ = 40/5; x = 6 / 1,2. Εκεί χρησιμοποιήθηκαν οι στοιχειώδεις κανόνες των μαθηματικών: a * c = e, αυτή η c = e / α? α = ε / ο. Προκειμένου να ολοκληρωθεί η λύση της εξίσωσης, μπορούμε να εκτελέσουμε μία δράση (σε αυτή την περίπτωση, διαίρεση) χ = 13? x = 8; x = 5. Αυτά ήταν τα παραδείγματα στον πολλαπλασιασμό τώρα ορατή στην αφαίρεση και προσθήκη: x + 3 = 9? 10x-5 = 15. Μεταφέρουμε τα γνωστά δεδομένα σε μία πλευρά: x = 9-3; χ = 20/10. Εκτελούμε την τελευταία ενέργεια: x = 6; x = 2.

Επίσης, είναι δυνατές παραλλαγές γραμμικών εξισώσεων, όπουχρησιμοποιείται περισσότερες από μία μεταβλητές: 2χ-2u = 4. Για να λυθεί, είναι απαραίτητο να προστεθεί σε κάθε μέρος 2γ, έχουμε 2x-2y + 2y = 4-2u, όπως είδαμε, στην αριστερή πλευρά του ίσον και -2u + 2y μειώνεται, έτσι έχουμε μείνει με: 2x = 4 -2y. Το τελικό βήμα χάσμα κάθε μέρος από τα δύο, θα έχουμε την απάντηση: το Χ είναι δύο μείον y.

Προβλήματα με εξισώσεις απαντώνται ακόμη και σεπαπύρη του Αχμέ. Εδώ είναι ένα από τα καθήκοντα: ο αριθμός και το τέταρτο μέρος δίνουν συνολικά 15. Για να το λύσουμε, γράφουμε την ακόλουθη εξίσωση: x συν ένα τέταρτο x ισούται με δεκαπέντε. Βλέπουμε ένα ακόμη παράδειγμα γραμμικής εξίσωσης, με βάση τη λύση, παίρνουμε την απάντηση: x = 12. Αλλά αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με άλλο τρόπο, δηλαδή τον αιγυπτιακό ή, όπως αποκαλείται με άλλο τρόπο, η μέθοδος της παραδοχής. Ο παπύρος χρησιμοποιεί την ακόλουθη λύση: πάρτε τέσσερα και ένα τέταρτο μέρος του, δηλαδή ένα. Εν ολίγοις, δίνουν πέντε, τώρα δεκαπέντε πρέπει να χωριστούν σε ένα ποσό, παίρνουμε τρεις, η τελευταία δράση τρεις πολλαπλασιάζονται με τέσσερα. Παίρνουμε την απάντηση: 12. Γιατί διαιρούμε με δεκαπέντε με πέντε σε μια απόφαση; Γνωρίζουμε λοιπόν πόσες φορές δεκαπέντε, δηλαδή το αποτέλεσμα που πρέπει να πάρουμε, λιγότερο από πέντε. Αυτός ήταν ο τρόπος επίλυσης των προβλημάτων του Μεσαίωνα, ονομάστηκε μέθοδος ψεύδους.

Τετράγωνες εξισώσεις

Εκτός από τα παραδείγματα που εξετάστηκαν νωρίτερα, υπάρχουν και άλλα. Ποια από αυτά; Μια τετραγωνική εξίσωση, τι είναι; Έχουν το τσεκούρι μορφή²+ bx + c = 0. Για να τα λύσετε, πρέπει να εξοικειωθείτε με συγκεκριμένες έννοιες και κανόνες.

Πρώτον, πρέπει να βρούμε το διακριτικό από τον τύπο: β²-4ac. Υπάρχουν τρεις επιλογές για την έκβαση της λύσης:

• το διακριτικό είναι μεγαλύτερο από το μηδέν.
• λιγότερο από μηδέν.
• είναι ίση με μηδέν.

Στην πρώτη εκδοχή μπορούμε να πάρουμε απάντηση από δύο ρίζες, οι οποίες σύμφωνα με τον τύπο: -Β + ρίζα της διακρίνουσας διαιρείται με το διπλάσιο του πρώτου συντελεστή, δηλαδή 2α.

Στη δεύτερη περίπτωση, η εξίσωση δεν έχει ρίζες. Στην τρίτη περίπτωση, η ρίζα βρίσκεται με τον τύπο: -b / 2a.

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα μιας τετραγωνικής εξίσωσης για περισσότεραλεπτομερή γνωριμία: τρία Χ στο τετράγωνο μείον δεκατέσσερα Χ μείον πέντε ισούται με μηδέν. Κατ 'αρχάς, όπως γράφτηκε παραπάνω, αναζητούν διακριτική, στην περίπτωσή μας είναι ίσος με 256. Σημειώστε ότι ο αριθμός που προκύπτει είναι μεγαλύτερο από το μηδέν, ως εκ τούτου, θα πρέπει να πάρετε απάντηση που αποτελείται από δύο ρίζες. Υποκατάστατο που ελήφθη εις την διακριτική φόρμουλα για την εύρεση των ριζών. Ως αποτέλεσμα, έχουμε: το Χ ισούται με πέντε και μείον το ένα τρίτο.

Ειδικές περιπτώσεις σε τετραγωνικές εξισώσεις

Αυτά είναι παραδείγματα στα οποία ορισμένες τιμές είναι μηδέν (a, b ή c), και πιθανόν αρκετές.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε την ακόλουθη εξίσωση, η οποίαείναι ένα τετράγωνο, δύο Χ στο τετράγωνο είναι ίσο με το μηδέν, εδώ βλέπουμε ότι b και c είναι ίση με το μηδέν. Ας προσπαθήσουμε να το λύσουμε, για το ότι και οι δύο πλευρές του χάσματος από δύο, έχουμε: x²= 0. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε x = 0.

Μια άλλη περίπτωση 16x²-9 = 0. Εδώ, μόνο b = 0. Λύπουμε την εξίσωση, μεταφέρουμε τον ελεύθερο συντελεστή στη δεξιά πλευρά: 16x²= 9, τώρα χωρίζουμε κάθε μέρος σε δεκαέξι: x²= εννέα δέκατο έκτο. Δεδομένου ότι έχουμε x στο τετράγωνο, η ρίζα του 9/16 μπορεί να είναι αρνητική ή θετική. Η απάντηση γράφεται ως εξής: Το Χ είναι ίσο με τα τρία τέταρτα συν / μείον.

Μια παραλλαγή της απάντησης είναι δυνατή, καθώς η εξίσωση της ρίζας δεν το κάνει. Ας δούμε ένα παράδειγμα: 5x²+ 80 = 0, εδώ b = 0. Για να λύσουμε τον ελεύθερο όρο, ρίξτε το στη δεξιά πλευρά, μετά από αυτές τις ενέργειες παίρνουμε: 5x²= -80, διαιρέστε τώρα κάθε μέρος σε πέντε μέρη: x²= μείον δεκαέξι. Εάν οποιοσδήποτε αριθμός είναι τετράγωνο, τότε δεν έχουμε αρνητική τιμή. Επομένως η απάντησή μας είναι ότι η εξίσωση της ρίζας δεν είναι.

Αποσύνθεση του τρινωμικού

Το έργο των τετραγωνικών εξισώσεων μπορεί επίσης να ακούγεται με άλλο τρόπο: αποσυνθέστε το τετραγωνικό τετράγωνο σε πολλαπλασιαστές. Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: a (x-x₁) (χ-χ₂). Για αυτό, όπως σε μια άλλη παραλλαγή του έργου, είναι απαραίτητο να βρούμε μια διακριτική.

Ας εξετάσουμε το ακόλουθο παράδειγμα: 3x²-14x-5, αποσυνθέστε το τρινωμικό σε πολλαπλασιαστές. Βρίσκουμε το διακριτικό, χρησιμοποιώντας τον τύπο που είναι ήδη γνωστός σε εμάς, αποκτάται ίσο με 256. Σημειώνουμε αμέσως ότι το 256 είναι μεγαλύτερο από το μηδέν, επομένως, η εξίσωση θα έχει δύο ρίζες. Τα βρίσκουμε, όπως και στην προηγούμενη παράγραφο, έχουμε: x = πέντε και μείον ένα τρίτο. Χρησιμοποιούμε τον τύπο για την επέκταση ενός τριωνυμικού σε πολλαπλασιαστές: 3 (x-5) (x + 1/3). Στο δεύτερο βραχίονα, λάβαμε το ίση σημάδι, επειδή στον τύπο υπάρχει ένα σημάδι μείον, και η ρίζα είναι επίσης αρνητική, χρησιμοποιώντας τη στοιχειώδη γνώση των μαθηματικών, στο άθροισμα έχουμε ένα σύμβολο συν. Για απλότητα, πολλαπλασιάζουμε τον πρώτο και τρίτο όρο της εξίσωσης για να απαλλαγούμε από το κλάσμα: (x-5) (x + 1).

Εξισώσεις που μειώνουν σε ένα τετραγωνικό

Σε αυτή την παράγραφο θα μάθουμε να λύσουμε πιο περίπλοκες εξισώσεις. Ας ξεκινήσουμε με ένα παράδειγμα:

(χ² - 2χ)² - 2 (χ² - 2x) - 3 = 0. Μπορούμε να δούμε διπλότυπα στοιχεία: (x² - 2x), είναι βολικό για εμάς να το αντικαταστήσουμεμια άλλη μεταβλητή και στη συνέχεια να λύσουμε τη συνήθη τετραγωνική εξίσωση, σημειώνουμε αμέσως ότι σε αυτό το έργο έχουμε τέσσερις ρίζες, αυτό δεν πρέπει να σας φοβίσει. Δηλώνουμε την επανάληψη της μεταβλητής a. Παίρνουμε: α²-2a-3 = 0. Το επόμενο βήμα είναι να βρούμε τη διαφορά της νέας εξίσωσης. Παίρνουμε 16, βρίσκουμε δύο ρίζες: μείον ένα και τρεις. Θυμόμαστε ότι έχουμε κάνει μια υποκατάσταση, αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές, στο τέλος έχουμε τις εξισώσεις: x² - 2x = -1. x² - 2χ = 3. Τους λύνουμε στην πρώτη απάντηση: το x είναι ίσο με ένα, στο δεύτερο: το x είναι ίσο με το μείον ένα και το τρία. Γράφουμε την απάντηση ως εξής: συν / μείον ένα και τρία. Κατά κανόνα, η απάντηση είναι γραμμένη με αύξουσα σειρά.

Κυβικές εξισώσεις

Ας εξετάσουμε μια ακόμη πιθανή παραλλαγή. Θα συζητήσουμε τις κυβικές εξισώσεις. Έχουν τη μορφή: τσεκούρι ³ + b x ² + cx + d = 0. Παραδείγματα εξισώσεων θα εξετάσουμε παρακάτω, αλλά για αρχή μια μικρή θεωρία. Μπορούν να έχουν τρεις ρίζες, καθώς υπάρχει ένας τύπος για να βρεθεί η διακριτική για μια κυβική εξίσωση.

Εξετάστε ένα παράδειγμα: 3x³+ 4x²+ 2χ = 0. Πώς να το λύσετε; Για να το κάνουμε αυτό, βάζουμε το x σε παρενθέσεις: x (3x²+ 4χ + 2) = 0. Το μόνο που πρέπει να κάνουμε είναι να υπολογίσουμε τις ρίζες της εξίσωσης σε παρενθέσεις. Η διάκριση της τετραγωνικής εξίσωσης σε παρένθεση είναι μικρότερη από μηδέν, σε αυτή τη βάση, η έκφραση έχει ρίζα: x = 0.

Άλγεβρα. Εξισώσεις

Προχωρούμε στην επόμενη φόρμα. Εξετάζουμε τώρα συνοπτικά τις αλγεβρικές εξισώσεις. Μία από τις εργασίες ακούγεται ως εξής: ομαδοποιώντας τη μέθοδο σε 3x πολλαπλασιαστές⁴+ 2x³+ 8x²+ 2χ + 5. Ο πιο βολικός τρόπος είναι η ακόλουθη ομαδοποίηση: (3x⁴+ 3x²) + (2χ³+ 2χ) + (5χ²+5). Σημειώνουμε ότι η Sx² από την πρώτη έκφραση, παρουσιάσαμε το άθροισμα των 3x² και 5 φορές². Τώρα αφαιρούμε από κάθε βραχίονα τον κοινό συντελεστή 3x²(χ2 + 1) + 2χ (χ²+1) +5 (x²+1). Βλέπουμε ότι έχουμε έναν κοινό πολλαπλασιαστή: x σε ένα τετράγωνο συν ένα, το βγάζουμε από παρένθεση: (x²+1) (3x²+ 2χ + 5). Η περαιτέρω αποσύνθεση είναι αδύνατη, καθώς και οι δύο εξισώσεις έχουν αρνητική διαφορά.

Υπερβατικές εξισώσεις

Προτείνουμε να ασχοληθούμε με τον ακόλουθο τύπο. Αυτές είναι εξισώσεις που περιέχουν υπερβατικές λειτουργίες, δηλαδή λογαριθμικές, τριγωνομετρικές ή εκθετικές. Παραδείγματα: 6χλ²x + tgx-1 = 0, x + 5lgx = 3 και ούτω καθεξής. Πώς θα λυθούν θα μάθετε από την πορεία της τριγωνομετρίας.

Λειτουργία

Το τελευταίο βήμα είναι να εξετάσουμε την έννοια της εξίσωσηςλειτουργία. Σε αντίθεση με προηγούμενες εκδόσεις, αυτός ο τύπος δεν λύνεται και πάνω του δημιουργείται ένα γράφημα. Γι 'αυτό, η εξίσωση αναλύεται καλά, να βρεθούν όλα τα απαραίτητα σημεία για την κατασκευή, να υπολογιστούν τα ελάχιστα και τα μέγιστα σημεία.