Πώς να βρείτε τα ελάχιστα και τα μέγιστα σημεία μιας λειτουργίας: χαρακτηριστικά, μέθοδοι και παραδείγματα

Λειτουργία και μελέτη των χαρακτηριστικών του παίρνειένα από τα βασικά κεφάλαια στα σύγχρονα μαθηματικά. Το κύριο στοιχείο οποιασδήποτε συνάρτησης είναι γραφήματα που αντιπροσωπεύουν όχι μόνο τις ιδιότητές του αλλά και τις παραμέτρους του παραγώγου αυτής της συνάρτησης. Ας δούμε αυτό το δύσκολο θέμα. Έτσι, πώς να βρούμε καλύτερα τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία της λειτουργίας;

Λειτουργία: Ορισμός

Κάθε μεταβλητή που κατά κάποιον τρόπο εξαρτάται από τις τιμές μιας άλλης ποσότητας μπορεί να ονομαστεί μια συνάρτηση. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f (x²) είναι τετραγωνική και καθορίζει τις τιμές για το σύνολο x. Ας υποθέσουμε ότι x = 9, τότε η αξία της λειτουργίας μας θα είναι 9²= 81.

Οι λειτουργίες μπορούν να είναι κάθε είδους: λογικό, διανυσματικό, λογαριθμικό, τριγωνομετρικό, αριθμητικό και άλλα. Σπούδασαν τέτοια εξαιρετικά μυαλά όπως οι Lacroix, Lagrange, Leibniz και Bernoulli. Τα έργα τους χρησιμεύουν ως οχυρό στους σύγχρονους τρόπους μελέτης λειτουργιών. Πριν βρεθούν τα ελάχιστα σημεία, είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε την ίδια την έννοια της λειτουργίας και του παραγώγου της.

Παράγωγο και ο ρόλος του

Όλες οι λειτουργίες εξαρτώνται από τις λειτουργίες τουςμεταβλητές, πράγμα που σημαίνει ότι μπορούν να αλλάξουν την αξία τους ανά πάσα στιγμή. Στη γραφική παράσταση, αυτό θα αναπαρασταθεί ως καμπύλη, η οποία έπειτα πέφτει, μετά ανεβαίνει κατά μήκος της τεταγμένης (αυτό είναι το σύνολο των αριθμών "y" κατά μήκος της κατακόρυφης γραμμής). Ο ορισμός του σημείου μέγιστης και ελάχιστης συνάρτησης σχετίζεται ακριβώς με αυτές τις "διακυμάνσεις". Θα εξηγήσουμε τι είναι αυτή η σχέση.

Το παράγωγο οποιασδήποτε συνάρτησης απεικονίζεται στο γράφημαμε σκοπό να μελετήσει τα κύρια χαρακτηριστικά του και να υπολογίσει πόσο γρήγορα αλλάζει η λειτουργία (δηλαδή, αλλάζει την αξία του ανάλογα με τη μεταβλητή "x"). Σε μια εποχή που η συνάρτηση αυξάνεται, το γράφημα του παραγώγου της θα αυξηθεί επίσης, αλλά σε κάθε δευτερόλεπτο η λειτουργία μπορεί να αρχίσει να μειώνεται και στη συνέχεια το παράγωγο γράφημα θα μειωθεί. Τα σημεία στα οποία το παράγωγο πηγαίνει από το σύμβολο μείον στο σύμβολο συν ονομάζονται ελάχιστα σημεία. Για να μάθετε πώς να βρείτε τα ελάχιστα σημεία, θα πρέπει να κατανοήσετε καλύτερα την έννοια του παραγώγου.

Πώς να υπολογίσετε το παράγωγο;

Ορισμός και υπολογισμός του παραγώγου μιας συνάρτησηςσυνεπάγεται διάφορες έννοιες από τον διαφορικό υπολογισμό. Γενικά, ο ίδιος ο ορισμός του παραγώγου μπορεί να εκφραστεί ως εξής: αυτή είναι η τιμή που δείχνει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης.

Ένας μαθηματικός τρόπος για να το ορίσετε για πολλούςοι μαθητές φαίνονται περίπλοκοι, αλλά στην πραγματικότητα όλα είναι πολύ πιο απλά. Είναι μόνο απαραίτητο να ακολουθήσετε το πρότυπο σχέδιο για την εύρεση του παραγώγου οποιασδήποτε συνάρτησης. Παρακάτω περιγράφεται πώς μπορείτε να βρείτε το ελάχιστο σημείο μιας συνάρτησης, χωρίς να εφαρμόσετε κανόνες διαφοροποίησης και χωρίς να μάθετε τον πίνακα παραγώγων.

1. Το παράγωγο μιας συνάρτησης μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώνταςγραφικά. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να εκπροσωπείτε τη λειτουργία, και στη συνέχεια να πάρετε ένα σημείο πάνω του (σημείο Α στην εικόνα). Κάθετα προς τα κάτω τραβήξτε μια γραμμή στον άξονα της τετμημένης (το σημείο x₀), και στο σημείο Α σχεδιάζουμε μια εφαπτομένη στο γράφημαλειτουργία. Η τετμημένη και η εφαπτομένη άξονας σχηματίζουν γωνία α. Για να υπολογίσετε την τιμή του πόσο γρήγορα αυξάνεται η λειτουργία, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την εφαπτομένη αυτής της γωνίας a.
2. Αποδεικνύεται ότι η εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ της εφαπτομένης και τηςΗ κατεύθυνση του άξονα x είναι το παράγωγο της συνάρτησης σε μια μικρή περιοχή με το σημείο Α. Αυτή η μέθοδος θεωρείται γεωμετρικός τρόπος προσδιορισμού του παραγώγου.

Μέθοδοι διερεύνησης της λειτουργίας

Στο σχολικό πρόγραμμα μαθηματικών είναι δυνατόεύρεση του ελάχιστου σημείου μιας λειτουργίας με δύο τρόπους. Η πρώτη μέθοδος με τη βοήθεια του γραφήματος που έχουμε ήδη αποσυναρμολογήσει, αλλά πώς προσδιορίζουμε την αριθμητική τιμή του παραγώγου; Για να γίνει αυτό, πρέπει να μάθετε μερικούς τύπους που περιγράφουν τις ιδιότητες του παραγώγου και να βοηθήσετε να μετατρέψετε μεταβλητές τύπου "x" σε αριθμούς. Η ακόλουθη μέθοδος είναι καθολική, ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί σε σχεδόν όλες τις λειτουργίες (γεωμετρικές και λογαριθμικές).

1. Είναι απαραίτητο να εξομοιωθεί η συνάρτηση με τη συνάρτηση των παραγώγων και στη συνέχεια να απλοποιηθεί η έκφραση χρησιμοποιώντας τους κανόνες διαφοροποίησης.
2. Σε ορισμένες περιπτώσεις, όταν δίνεται μια συνάρτηση, στοπου η μεταβλητή "x" βρίσκεται στον διαιρέτη, είναι απαραίτητο να καθοριστεί το εύρος των αποδεκτών τιμών, εξαιρουμένου του σημείου "0" από αυτόν (για τον απλό λόγο που σε καμία περίπτωση δεν μπορεί να διαιρεθεί σε μηδέν).
3. Μετά από αυτό, είναι απαραίτητο να μετατρέψουμε την αρχική μορφή της συνάρτησης σε μια απλή εξίσωση, εξισώνοντας ολόκληρη την έκφραση στο μηδέν. Για παράδειγμα, αν η λειτουργία φαινόταν έτσι: f (x) = 2x³+ 38x, τότε από τους κανόνες διαφοροποίησης το παράγωγο του είναι ίσο με f "(x) = 3x²+1. Στη συνέχεια μετατρέπουμε αυτή την έκφραση σε μια εξίσωση της ακόλουθης μορφής: 3x²+1 = 0.
4. Μετά την επίλυση της εξίσωσης και την εύρεση των σημείων "x"είναι απαραίτητο να τα απεικονίσετε στον άξονα των τετμημένων και να προσδιορίσετε εάν το παράγωγο σε αυτά τα τμήματα μεταξύ των σημασμένων σημείων είναι θετικό ή αρνητικό. Μετά τη σημείωση, γίνεται σαφές σε ποιο σημείο η λειτουργία αρχίζει να μειώνεται, δηλαδή μεταβάλλει την υπογραφή από αρνητική σε αρνητική. Με αυτόν τον τρόπο, μπορείτε να βρείτε τόσο τους ελάχιστους όσο και τους μέγιστους βαθμούς.

Κανόνες διαφοροποίησης

Το πιο βασικό στοιχείο στη μελέτη της λειτουργίας uτο παράγωγο του είναι η γνώση των κανόνων διαφοροποίησης. Μόνο με τη βοήθειά τους μπορείτε να μετατρέψετε δυσκίνητες εκφράσεις και μεγάλες πολύπλοκες λειτουργίες. Ας εξοικειωθούμε με αυτούς, υπάρχουν πολλοί από αυτούς, αλλά είναι όλοι πολύ απλοί λόγω των τακτικών ιδιοτήτων τόσο των εξουσιών όσο και των λογαριθμικών λειτουργιών.

1. Το παράγωγο οποιασδήποτε σταθεράς είναι ίσο με το μηδέν (f (x) = 0). Δηλαδή, το παράγωγο f (x) = x⁵+ x - 160 θα έχει τη μορφή: f "(x) = 5x⁴+1.
2. Το παράγωγο του αθροίσματος των δύο όρων: (f + w) "= f" w + fw ".
3. Το παράγωγο της λογαριθμικής συνάρτησης: (log_αd) "= d / ln a * d Ο εν λόγω τύπος ισχύει για όλους τους τύπους λογαρίθμων.
4. Παράγωγο του βαθμού: (xⁿ) "= n * x^n-1. Για παράδειγμα, (9x²) "= 9 * 2χ = 18χ.
5. Το παράγωγο της ημιτονοειδούς συνάρτησης: (sin a) "= cos a. Εάν η αμαρτία της γωνίας a είναι 0.5, τότε το παράγωγο της είναι ίσο με √3 / 2.

Εξαιρετικά σημεία

Έχουμε ήδη ταξινομήσει πώς να βρούμε τα ελάχιστα σημεία,Ωστόσο, υπάρχει μια έννοια των μέγιστων σημείων μιας συνάρτησης. Εάν το ελάχιστο υποδεικνύει εκείνα τα σημεία στα οποία η συνάρτηση αλλάζει από ένα σύμβολο μείον σε ένα σύμβολο συν, τότε τα σημεία του μέγιστου είναι εκείνα τα σημεία στην τετμημένη στην οποία το παράγωγο της συνάρτησης αλλάζει από το συν στα αρνητικά-αρνητικά.

Μπορείτε να βρείτε τα μέγιστα σημεία σύμφωνα με την παραπάνω περιγραφόμενη μέθοδο, αλλά θα πρέπει να σημειώσετε ότι αυτά υποδηλώνουν εκείνα τα μέρη στα οποία αρχίζει να μειώνεται η λειτουργία, δηλαδή το παράγωγο θα είναι μικρότερο από το μηδέν.

Στα μαθηματικά, είναι κοινό να γενικεύουμε και τις δύο έννοιες,αντικαθιστώντας τα με τη φράση "extremum points". Όταν ζητείται από μια εργασία να καθορίσει αυτά τα σημεία, αυτό σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το παράγωγο μιας δεδομένης συνάρτησης και να βρείτε τον ελάχιστο και το μέγιστο βαθμό.