Επιστροφή στο σχολείο. Προσθήκη ριζών

Στον καιρό της σύγχρονης ηλεκτρονικήςυπολογιστικές μηχανές που υπολογίζουν τη ρίζα ενός αριθμού δεν φαίνεται να είναι δύσκολο έργο. Για παράδειγμα, √2704 = 52, υπολογίζει κάθε αριθμομηχανή για εσάς. Ευτυχώς, η αριθμομηχανή δεν είναι μόνο στα Windows, αλλά και στο συνηθισμένο, ακόμα και το πιο απλό, τηλέφωνο. Είναι αλήθεια ότι αν ξαφνικά (με μια μικρή πιθανότητα, ο υπολογισμός της οποίας περιλαμβάνει, μεταξύ άλλων, την προσθήκη των ριζών), θα βρεθείτε χωρίς διαθέσιμα μέσα, τότε, δυστυχώς, θα πρέπει μόνο να στηριχθείτε στο μυαλό σας.

Εκπαίδευση του νου δεν βάζει ποτέ. Ειδικά για όσους δεν εργάζονται συχνά με αριθμούς, πολύ λιγότερο με ρίζες. Η προσθήκη και αφαίρεση των ριζών είναι μια καλή προθέρμανση για ένα βαρεμένο μυαλό. Και θα σας δείξω βήμα προς βήμα την προσθήκη των ριζών. Παραδείγματα εκφράσεων μπορεί να είναι τα ακόλουθα.

Η εξίσωση που πρέπει να απλουστευθεί:

√2 + 3√48-4 × √27 + √128

Αυτή είναι μια παράλογη έκφραση. Για να το απλοποιήσουμε, πρέπει να φέρουμε όλες τις δευτερεύουσες εκφράσεις στη γενική μορφή. Κάνουμε βήμα προς βήμα:

Ο πρώτος αριθμός δεν μπορεί πλέον να απλοποιηθεί. Περνάμε στο δεύτερο όρο.

3: 48 παράγοντας 48 σε πολλαπλασιαστές: 48 = 2 × 24 ή 48 = 3 × 16. Η τετραγωνική ρίζα των 24 δεν είναι ακέραιος. έχει ένα κλασματικό υπόλοιπο. Δεδομένου ότι χρειαζόμαστε ακριβές νόημα, οι ρίζες κατά προσέγγιση δεν μας ταιριάζουν. Η τετραγωνική ρίζα του 16 είναι 4, βγάζουμε την κάτω από το ριζικό σύμβολο. Παίρνουμε: 3 × 4 × √3 = 12 × √3

Η ακόλουθη έκφραση είναι αρνητική,δηλαδή. γραμμένο με σημάδι μείον -4 × √ (27.) Εμείς αποσυνθέτουμε 27 σε πολλαπλασιαστές. Παίρνουμε 27 = 3 × 9. Δεν χρησιμοποιούμε κλασματικούς πολλαπλασιαστές, επειδή είναι πιο δύσκολο να υπολογίσουμε την τετραγωνική ρίζα των κλασμάτων. Παίρνουμε 9 από κάτω από το σημείο, δηλ. υπολογίστε την τετραγωνική ρίζα. Παίρνουμε την ακόλουθη έκφραση: -4 × 3 × √3 = -12 × √3

Ο επόμενος όρος √128 υπολογίζει το τμήμα που μπορεί να αφαιρεθεί από κάτω από τη ρίζα. 128 = 64 × 2, όπου √64 = 8. Εάν είναι ευκολότερο να εκπροσωπήσετε αυτήν την έκφραση όπως αυτή: √128 = √ (8 ^ 2 × 2)

Ξαναγράφουμε την έκφραση με απλουστευμένους όρους:

√2 + 12 × √3-12 × √3 + 8 × √2

Τώρα προσθέστε τους αριθμούς με την ίδια ρίζα έκφρασης. Δεν μπορείτε να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε εκφράσεις με διαφορετικές δευτερεύουσες εκφράσεις. Η προσθήκη ριζών απαιτεί συμμόρφωση με αυτόν τον κανόνα.

Η απάντηση είναι η ακόλουθη:

√2 + 12√3-12√3 + 8√2 = 9√2

√2 = 1 × √2 - Ελπίζω ότι το γεγονός ότι είναι κοινό στην αλγεβρα να παραλείψεις αυτά τα στοιχεία δεν θα γίνει είδηση ​​για σένα.

Οι εκφράσεις μπορούν να εκπροσωπούνται όχι μόνο από την τετραγωνική ρίζα, αλλά και από την κυβική ή τη ρίζα της n-εξουσίας.

Η προσθήκη και αφαίρεση των ριζών με διαφορετικούς εκθέτες, αλλά με ισοδύναμη δευτερεύουσα έκφραση, προκύπτει ως εξής:

Αν έχουμε μια έκφραση της φόρμας √a + ∛b + ∜b, τότε μπορούμε να απλοποιήσουμε αυτή την έκφραση όπως αυτή:

∛b + ∜b = 12 × √b4 + 12 × √b3

12 √ b4 + 12 × √b3 = 12 × √b4 + b3

Φέραμε δύο τέτοια μέλη στο συνολικό σκορρίζα. Εδώ χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα των ριζών, η οποία λέει: αν ο αριθμός του βαθμού του radicand και ο αριθμός του root exponent πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό, τότε ο υπολογισμός του θα παραμείνει αμετάβλητος.

Σημείωση: οι εκθέτες προστίθενται μόνο όταν πολλαπλασιάζονται.

Εξετάστε ένα παράδειγμα όπου υπάρχουν κλάσματα σε μια έκφραση.

5√8-4 × √ (1/4) + √72-4 × √2

Θα αποφασίσουμε τα στάδια:

5√8 = 5 * 2√2 - βγάζουμε το εξαγόμενο κομμάτι από κάτω από τη ρίζα.

- 4√ (1/4) = - 4 √1 / (√4) = - 4 * 1/2 = - 2

Εάν το σώμα της ρίζας αντιπροσωπεύεται από ένα κλάσμα, τότε συχνά αυτό το κλάσμα δεν αλλάζει αν εξάγεται η τετραγωνική ρίζα του μερίσματος και του διαιρέτη. Ως αποτέλεσμα, αποκτήσαμε την ισότητα που περιγράφηκε παραπάνω.

√72-4√2 = √ (36 × 2) - 4√2 = 2√2

10√2 + 2√2-2 = 12√2-2

Ακολουθεί η απάντηση.

Το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμόμαστε είναι ότι μια ρίζα με έναν ομοιόμορφο εκθέτη δεν εξάγεται από αρνητικούς αριθμούς. Αν ο ομοιόμορφος βαθμός της ριζοσπάστης είναι αρνητικός, τότε η έκφραση είναι αδιάλυτη.

Η προσθήκη ριζών είναι δυνατή μόνο εάν οι δευτερεύουσες εκφράσεις συμπίπτουν, επειδή είναι όμοιοι όροι. Το ίδιο ισχύει και για τη διαφορά.

Προσθήκη ριζών με διαφορετικές αριθμητικές τιμέςβαθμός παράγονται φέρνοντας και τους δύο όρους στο κοινό βαθμό ρίζας. Αυτός ο νόμος δρα επίσης ως μείωση του κοινού παρονομαστή κατά την προσθήκη ή αφαίρεση των κλασμάτων.

Αν υπάρχει ένας αριθμός στην ριζική που ανυψώνεται σε μια δύναμη, τότε αυτή η έκφραση μπορεί να απλοποιηθεί, με την προϋπόθεση ότι υπάρχει ένας κοινός παρονομαστής μεταξύ του εκθέτη της ρίζας και του βαθμού.

</ p>