Τι είναι η υπό όρους πιθανότητα και πώς να το υπολογίσουμε σωστά;

Συχνά στη ζωή βρισκόμαστε αντιμέτωποι με αυτό που χρειάζεταιΑξιολογήστε τις πιθανότητες ενός γεγονότος. Θα πρέπει να αγοράσει ένα λαχείο ή όχι, ποιο θα είναι το πάτωμα του τρίτου παιδιού στην οικογένεια, αν αύριο θολό σε βροχή και πάλι - τέτοια παραδείγματα είναι αμέτρητα. Στην απλούστερη περίπτωση, ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων διαιρούμενο με τον συνολικό αριθμό των γεγονότων. Αν το λαχείο κερδίζει 10, και συνολικά 50, οι πιθανότητες να πάρει ένα βραβείο ίσο με 10/50 = 0.2, δηλαδή 20 έναντι 100. Αλλά τι να κάνουν σε περίπτωση που υπάρχουν πολλαπλές εκδηλώσεις, και είναι στενά συνδεδεμένα μεταξύ τους; Σε αυτή την περίπτωση, δεν μας ενδιαφέρει η απλή αλλά υπό όρους πιθανότητα. Τι είδους αξία και πώς μπορεί να υπολογιστεί - αυτό θα είναι μόνο να καλύπτονται σε αυτό το άρθρο.

Η έννοια του

Η υπό όρους πιθανότητα είναι η πιθανότητα μιας επίθεσηςένα συγκεκριμένο γεγονός, υπό τον όρο ότι έχει ήδη συμβεί κάποιο άλλο γεγονός που σχετίζεται με αυτό. Εξετάστε ένα απλό παράδειγμα ρίψης ενός νομίσματος. Αν η κλήρωση δεν είναι ακόμα, τότε οι πιθανότητες πτώσης του αετού ή των ουρών είναι οι ίδιες. Αλλά αν διπλώσετε ένα κέρμα πέντε φορές στη σειρά, τότε συμφωνείτε να περιμένετε το 6ο, 7ο, και ακόμα περισσότερο, έτσι ώστε η δέκατη επανάληψη ενός τέτοιου αποτελέσματος θα είναι παράλογο. Με κάθε επανάληψη της πτώσης του αετού, οι πιθανότητες εμφάνισης των ουρών μεγαλώνουν και αργά ή γρήγορα θα πέσουν.

Ο τύπος πιθανότητας υπό όρους

Ας καταλάβουμε τώρα πώς αυτή η αξίαυπολογίζεται. Δηλώνουμε το πρώτο συμβάν με το Β και το δεύτερο με την Α. Αν οι πιθανότητες προσέγγισης Β διαφέρουν από το μηδέν, τότε ισχύει η ακόλουθη ισότητα:

Ρ (Α | Β) = Ρ (ΑΒ) / Ρ (Β), όπου:

• P (A | B) είναι η υπό όρους πιθανότητα του αποτελέσματος του Α.
• P (AB) είναι η πιθανότητα κοινής εμφάνισης συμβάντων Α και Β.
• P (B) είναι η πιθανότητα του συμβάντος Β.

Με την ελαφριά μετατροπή αυτής της σχέσης λαμβάνουμε P (AB) = P (A | B) * P (B). Και αν εφαρμόσετε τη μέθοδο επαγωγής, μπορείτε να εξαγάγετε τον τύπο του προϊόντος και να τον χρησιμοποιήσετε για έναν αυθαίρετο αριθμό συμβάντων:

P (A₁, Α₂, Α₃, ... Α_n) = Ρ (Α₁| Α₂... Και_n) * Ρ (Α₂| Α₃... Και_n) * Ρ (Α₃| Α₄... Και_n) ... Ρ (Α_p-1| Α_n) * Ρ (Α_n).

Πρακτική

Για να διευκολυνθεί η κατανόηση του τρόπουη υποθετική πιθανότητα του γεγονότος υπολογίζεται, θα εξετάσουμε μερικά παραδείγματα. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα βάζο στο οποίο υπάρχουν 8 σοκολάτες και 7 νομισματοκοπεία. Σε μέγεθος είναι τα ίδια και τυχαία δύο από αυτά διαγράφονται διαδοχικά. Ποιες είναι οι πιθανότητες ότι και οι δύο θα αποδειχθούν σοκολάτες; Εισάγουμε τη σημείωση. Ας το αποτέλεσμα του Α σημαίνει ότι η πρώτη καραμέλα είναι σοκολάτα, το αποτέλεσμα του Β είναι η δεύτερη καραμέλα σοκολάτας. Στη συνέχεια, έχουμε τα εξής:

Ρ (Α) = Ρ (Β) = 8/15,

Ρ (Α | Β) = Ρ (Β | Α) = 7/14 = 1/2,

P (ΑΒ) = 8/15 χ 1/2 = 4/15 ≈ 0,27

Ας εξετάσουμε μια ακόμα περίπτωση. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει οικογένεια δύο παιδιών και γνωρίζουμε ότι τουλάχιστον ένα παιδί είναι κορίτσι.

Ποια είναι η υποθετική πιθανότητα ότι τα αγόριαΔεν είναι ακόμα οι γονείς αυτοί; Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, ξεκινάμε με τη σημείωση. Έστω ότι P (B) είναι η πιθανότητα ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα κορίτσι στην οικογένεια, P (A | B) είναι η πιθανότητα ότι το δεύτερο παιδί είναι επίσης κορίτσι, P (AB) είναι οι πιθανότητες να υπάρχουν δύο κορίτσια στην οικογένεια. Τώρα κάνετε τους υπολογισμούς. Συνολικά μπορούν να υπάρχουν 4 διαφορετικοί συνδυασμοί του φύλου των παιδιών και σε μία μόνο περίπτωση (όταν υπάρχουν δύο αγόρια στην οικογένεια), δεν θα υπάρξουν κορίτσια μεταξύ των παιδιών. Επομένως η πιθανότητα P (B) = 3/4, και P (AB) = 1/4. Στη συνέχεια, ακολουθώντας τον τύπο μας, παίρνουμε:

Ρ (Α | Β) = 1/4: 3/4 = 1/3.

Μπορείτε να ερμηνεύσετε το αποτέλεσμα ως εξής: αν δεν γνωρίζαμε το πεδίο ενός από τα παιδιά, οι πιθανότητες των δύο κοριτσιών θα ήταν 25 έως 100. Αλλά επειδή γνωρίζουμε ότι ένα παιδί είναι κορίτσι, η πιθανότητα ότι δεν υπάρχουν αγόρια στην οικογένεια φτάνει στο ένα τρίτο.

</ p>